Satélite geoestacionário e (em destaque) o seu idealizador

Em homenagem a Arthur C. Clarke (1917-2008), físico e escritor falecido nesta semana (veja post anterior), quero abordar alguns aspectos interessantes da órbita de um satélite geoestacionário também conhecida com órbita Clarke. Foi Clarke quem, nos anos quarenta do século passado, idealizou a possibilidade de conectar via-satélite várias partes do mundo usando satélites geoestacionários. 

:: O plano da órbita Clarke

Como o nome sugere, um satélite geoestacionário (geo = Terra, estacionário = parado) deve acompanhar a rotação do planeta de forma a ficar sempre parado em relação a um ponto fixo na Terra. 

Deve ficar bem claro que o satélite não vai ficar parado de forma absoluta uma vez que estará orbitando o planeta. O termo estacionário significa que o satélite estará parado em relação a um ponto fixo na superfície do planeta mas que também gira junto com a Terra na medida em que ela como um todo sofre rotação em torno do seu próprio eixo.

Para que isso seja possível, esta órbita (em verde e tracejada na figura a seguir) tem que ser equatorial, ou seja, deve estar no mesmo plano da linha do equador terrestre (em vermelho).

Assim, o planeta gira e o satélite acompanha a sua rotação permanecendo parado em relação a um ponto fixo na superfície terrestre.

:: O sentido do movimento na órbita Clarke

Sabemos que o planeta Terra gira de oeste para leste. Logo, para seguir um ponto P fixo na Terra o satélite S em sua órbita equatorial deve se mover no mesmo sentido do ponto P tal que permaneça estacionário num referencial fixo em P.

:: A velocidade do satélite na orbita Clarke

Para acompanhar a rotação da Terra, o satélite deve ter valores de velocidade V e altitude h que satisfaçam tanto a Lei da Gravitação Universal (figura abaixo) quanto as Leis do Movimento, leis estas propostas pelo físico inglês Isaac Newton (1642-1727).

Pela expressão acima concluímos que a Terra de massa M atrai o satélite de massa m com uma força gravitacional F que, além de depender do produto das massas M e m, depende ainda do inverso do quadrado da distância r entre o planeta e o satélite. G é uma constante universal que tem valor muito pequeno de 6,7.10^-11 N.m².kg².

F é a única força que atua sobre o satélite, forçando a sua órbita fechada ao redor do planeta. Aproximando esta órbita para uma circunferência, a força F passa a ter caráter exclusivo de resultante centrípeta R_C que pode ser expressa por:

Como F = R_C teremos:

Encontramos uma maneira de calcular a velocidade orbital V do satélite que não depende da massa m do próprio satélite mas somente da massa M do planeta. V depende ainda do raio orbital r que pode ser interpretado como r =  R + h onde R é o raio do planeta e h a altitude do satélite medida em relação à superfície planetária (confira esta idéia na figura abaixo).

:: O período da órbita Clarke

O período T da órbita de um satélite qualquer é o tempo que ele demora para completar uma volta ao redor do planeta. Para calcular T é fácil. A cada volta ao redor da Terra o satélite percorre um circunferência de comprimento DS =  2pr num intervalo de tempo Dt = T (o próprio período). Logo, pela expressão da velocidade escalar média (que pode ser aqui empregada pois estamos supondo órbita circular com velocidade constante), teremos:

Não perca de vista que o raio orbital r é a soma do raio R da Terra com a altitude h, ou seja, r = R + h.

Mas um satélite geoestacionário não é um satélite qualquer. Ele deve seguir a rotação da Terra e, portanto, deve ter período T = 24h, correspondente à duração de um dia, o mesmo tempo que a Terra gasta para completar uma volta ao redor de si mesma, certo? Na expressão de T logo acima r e V devem guardar relações bem precisas tal que seu período seja exatamente de 24h. É o que vamos discutir no tópico seguinte.

:: O raio r da órbita Clarke

A expressão do período T encontrada logo acima pode levar alguém distraído a acreditar que seja possível combinar diversos valores de r e V tal que a razão r/V multiplicada por 2p dê exatamente T = 24h. Mas não a coisa não é tão simples assim. Na expressão da velocidade orbital V obtida um pouco mais acima fica claro que a velocidade V também depende do raio orbital r! Logo, na razão r/V tem r "escondido" dentro do V. Desta forma, não tem como alterar V para uma órbita estável, dentro das leis da Mecânica, sem mexer em r e vice-versa. V e r estão irremediavelmente "amarrados" um ao outro! Para que a órbita Clarke funcione, ou seja, o satélite permaneça orbitando a Terra ao sabor da gravidade e acompanhando a rotação planetária, precisamos ajustar o raio orbital r (ou altitude h, como queira)!

Para tanto, basta substituir a expressão de V na expressão de T (ambas deduzidas logo acima) e teremos:

Precisamos dar uma "limpada" na expressão de T acima. A matemática fica mais bonita quando temos preocupações estéticas. Veja que podemos elevar ambos os membros da expressão ao quadrado e encontramos:

Continuando o processo de "faxina" matemática chegamos na seguinte expressão:

A expressão acima nada mais é do que a Terceira Lei de Kepler, originalmente sugerida por Johannes Kepler (1571-1630) para uma órbita elíptica, mas que aqui foi deduzida para uma órbita circular. Vale lembrar que uma órbita circular é um caso particular de uma órbita elíptica.

E com esta expressão na mão concluímos que, para a órbita Clarke funcionar, ou seja, ter um período T = 24h, é preciso ajustar o raio orbital r para um valor exato e compatível com T = 24h. Note, pelos cálculos acima, que não existem diversos valores de r que satisfazem à condição de órbita geoestacionária. Pelo contrário, só existe um único valor do raio orbital r para que o satélite acompanhe a rotação terrestre. E, ao definirmos um valor único de r, estabelecemos também um valor único para a velocidade orbital V pois, como vimos, ela também depende de r!

Agora está fácil encontrar o valor do raio r da órbita Clarke. É só isolar o r na expressão da Terceira Lei de Kepler para órbitas circulares que foi deduzida logo acima. Veja:

Para finalizar basta extrair a raiz cúbica em ambos os membros da expressão acima e encontraremos r:

Como o raio orbital r corresponde à soma do raio R da Terra com a altitude h (em relação ao solo) podemos encontrar também uma expressão para a altitude h do satélite:

É claro que, de uma forma muito mais simples, quando já tivermos calculado o valor de r, podemos encontrar h fazendo h = r - R.

:: Os valores reais de r e h na órbita Clarke

Com as expressões acima obtidas para r e para h, sabendo que a massa aproximada da Terra é M = 6.10²⁴ kg, o período T = 24h = 24 x 3600 s = 86.400s, o raio aproximado do planeta é R = 6.400 km = 6.400.000 m e usando p @ 3,14, podemos fazer as contas e chegar onde queremos. Confira:

• Cálculo de r:
   
  
• Cálculo de h:
  

Conclusão: 
1. O raio da órbita Clarke, medido em relação ao centro da Terra, é de cerca de 42.000 km.
2. A altitude do satélite, medida na vertical (direção radial) e contada em relação à superfície do planeta, é de cerca de 36.000 km.

:: O "campo de visão" do satélite na órbita Clarke

Um outro aspecto bem interessante a ser discutido é o "campo de visão" do satélite geoestacionário, ou seja, qual a região do planeta que ele é capaz de cobrir. Em outras palavras, qual a região da superfície da Terra que o satélite pode "enxergar". A figura abaixo ilustra a idéia.

O satélite pode enviar sinais eletromagnéticos para todos os lados. Mas o que delimita a região coberta pelos sinais é o fato do planeta ser esférico. Note, pela figura acima, que raios de onda emitidos pelo satélite, no limite, 'tocam" o planeta nos pontos de tangência T₁ e T₂. Desta forma os sinais recebidos ou transmitidos entre o satélite e a Terra ficam confinados num cone cuja base circular corresponde exatamente à área de cobertura. É nesta região que podemos colocar antenas capazes de trocar sinais eletromagnéticos com o satélite. 

Em vez da área circular mostrada na figura acima, vamos calcular o ângulo q definido pela figura abaixo. 

Note que q corresponde à latitude máxima que o sinal do satélite pode alcançar. O cálculo de q não é complicado como pode parecer à primeira vista. Veja que temos um triângulo DCT₁S onde C é o centro da Terra, T₁ o ponto de tangência do sinal e S o satélite. Neste triângulo retângulo, que facilita muito as coisas do ponto de vista geométrico, o cosseno de q equivale à razão R/r onde R = 6.400 km é o raio da Terra e r = 42.000 km (calculado logo acima) é o raio orbital do satélite geoestacionário S. Assim:

Com uma calculadora científica podemos facilmente obter o valor do ângulo q cujo cosseno vale 0,152381 fazendo a função inversa. Encontramos q @ 81,2^o. 

Conclusão: um satélite geoestacionário cobre uma região com antenas posicionadas entre as latitudes 81,2N até 81,2S. Esta região não chega nos pólos norte e sul da Terra. Mas chega quase lá. E isso não é nenhum problema porque ninguém vai querer transmitir sinais de TV ou internet para ursos polares ou pingüins, vai?!

Pensando um pouco mais profundamente também é possível calcular os valores de longitude para as antenas retransmissoras. É um cálculo um pouco mais complicado do que o da latitude. Mas possível. Assim podemos determinar o intervalo de latitudes/longitudes das antenas que podem trocar informações com o satélite e descobrir a sua real área de cobertura.

:: Para encerrar a conversa

Muita gente, quando vê um post repleto de contas como este, desanima logo nas primeiras linhas. Infelizmente, a maioria das pessoas não entende a linguagem matemática. É mais ou menos como deixar de contemplar a beleza de uma poesia escrita em russo só porque não sabemos ler em russo!

A linguagem matemática, por ser lógica, é a melhor possível para expressar a poesia do Universo. Aliás, deste ponto de vista, somos nós os físicos uma espécie de poetas do Universo, do micro ao macro, entendam as pessoas ou não o que queremos dizer com nossas encantadoras equações que nada mais são do que metáforas cósmicas! Física continua sendo pura poesia, não é mesmo Ronaldo? 

Sir Arthur Charles Clarke

Acabei de chegar das aulas da faculdade e recebi a notícia de que faleceu no final da tarde de hoje, aos 90 anos de idade, o físico e escritor inglês Arthur C. Clarke, autor do badaladíssimo "2001: Uma Odisséia no Espaço", que virou filme sob direção de Stanley Kubrick em 1968 e é considerado um marco na ficção científica mundial.

Apesar da correria, entre provas para corrigir e aulas por preparar, não posso deixar de registrar este fato. Também não posso deixar de comentar o que nem todo mundo sabe: é de Clarke a idéia de satélites geoestacionários. No artigo científico  "Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?", publicado na revista Wireless World em Outubro de 1945, Clarke introduziu a idéia de satélites geoestacionários, ou seja, com órbitas equatoriais e numa altitude^(*) tal que pudessem acompanham a rotação da Terra mantendo-se sempre fixos e na mira das antenas retransmissoras. Satélites geoestacionáios são uma grande sacada de mecânica a serviço das telecomunicações. E uma prova muito forte do lado visionário desde grande homem, apaixonado pela ciência e em especial pela Astronomia e que nos anos 40 do século passado já afirmava categoricamente que o homem chegaria à Lua.

Já publicado aqui no Física na Veia!

• [18/02/2008] Satélites: Perguntas e Respostas
• [10/04/2006] Órbita: Perfeita Combinação de Velocidade e Altitude
• [27/04/2005] Desafio: Satélites Geoestacionários

UOL Últimas Notícias

Papa Bento XVI em missa do Domingo de Ramos

Acabo de ler na home do UOL que o o papa Bento XVI celebrou hoje na praça São Pedro, no Vaticano, a tradicional Missa de Ramos. Todos os católicos (e até quem não é) sabem que, se hoje é Domingo de Ramos, no domingo que vem é Páscoa. Em 2007 domingo de Pascoa caiu em 8 abril. Em 2008 a Páscoa acontece mais cedo, assim como o Carnaval que também veio antes, logo no começo de fevereiro. 

Todo mundo que já se ligou no calendário 2008 sabe disso. Mas o que nem todo mundo se lembra é que estas datas cristãs estão interligadas e são calculadas com base numa regra lógica atrelada à Astronomia. Primeiro calculamos a data da Páscoa definida como "o primeiro domingo depois da primeira Lua Cheia⁽¹⁾ que ocorre após o dia 21 de março (equinócio⁽²⁾ de primavera no hemisfério norte ou outono no hemisfério sul)". Depois encontramos as outras datas seguindo o que se vê na tabela abaixo.

Comemorações religiosas com datas móveis
Nome	Data
Domingo de Carnaval	49 dias antes da Páscoa
Terça-feira de Carnaval	47 dias antes da Páscoa
Quarta-feira de Cinzas	46 dias antes da Páscoa
Domingo de Ramos	7 dias antes da Páscoa
Sexta-feira da Paixão	2 dias antes da Páscoa
Domingo do Espírito Santo	49 dias após da Páscoa
Santíssima Trindade	56 dias após da Páscoa
Corpus Christi	60 dias após da Páscoa

Para calcular a Páscoa existem algoritmos específicos (veja logo abaixo link para o post "Por que a data da Páscoa muda a cada ano?"). Para facilitar as coisas, disponibilizo aqui no blog uma Calculadora on line para encontrar automaticamente as datas da terça-feira de Carnaval, da Páscoa e de Corpus Christi. Basta fornecer o ano e o seu computador, rodando o script com um algoritmo chato de rodar na mão, faz o trabalho braçal por você.

Bom Domingo de Ramos! Espero blogar antes do próximo domingo. Mas, como ando "voando baixo" ultimamente, por garantia, desejo a você leitor do Física na Veia! desde já uma boa Páscoa no próximo final de semana prolongado!

• [29/02/2008]  Pague 365 e leve 1 de Graça
• [08/04/2007]  Por Que A Data Da Páscoa Muda A Cada Ano?