"Além do horizonte existe um lugar
Bonito e tranqüilo
Pra gente se amar"

(Roberto Carlos/Erasmo Carlos
in "Além do Horizonte")

Ainda pensando na Terra esférica, bateu-me uma outra questão: a que distância D dos olhos O de uma pessoa fica o horizonte? A resposta a esta pergunta requer um raciocínio geométrico divertido e sem grandes complicações.

Para começar, veja a figura abaixo que mostra um triângulo cujos vértices são o olho O de uma pessoa (observador), um ponto P bem no horizonte deste observador e o centro C do planeta Terra:

Note na figura que h é a altura dos olhos até o nível do mar e R é o raio do nosso planeta. Se a pessoa estiver em pé ao nível do mar, h é a altura do chão até os seus olhos (O) e Q seus pés. Se a pessoa estiver sobre uma montanha, h será a distância total medida a partir do nível do mar (Q) até os seus olhos (O), incluindo a altura da própria montanha.

Note ainda que a linha tracejada laranja é tangente à curvatura da Terra e corresponde à linha de visada do observador. A outra linha tracejada e verde passa pelo centro C do planeta e, portanto, nos dá a direção radial, perpendicular à tangente. Assim, os lados OP (sobre a linha laranja) e PC (sobre a linha verde) são perpendiculares, ou seja, são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é OC.

Pelo Teorema de Pitágoras, que diz que "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa", teremos, para o triângulo DOPC mostrado na figura acima:

Pela figura vemos que o lado OC mede R + h, o lado OP mede D e o lado PC mede R. Assim:

Na prática teremos h << 2R, ou seja, a altura h desprezível frente ao valor de 2R (o dobro do raio da Terra). Por aproximação teremos:

Agora podemos estimar o valor de D, distância do horizonte aos olhos do observador, supondo alguns valores possíveis de h e sabendo que o raio da Terra mede aproximadamente R = 6.400 km = 6.400.000 m.

Exemplo 1: Uma pessoa de 1,80m, em pé na praia, ao nível do mar.

venturedeepocean.org

Seus olhos estarão a h = 1,70m do chão. Assim:

Para esta pessoa ao nível do mar o horizonte fica a aproximadamente 4,6 km. 

Exemplo 2: Uma pessoa começando a descer para o litoral, na cidade de São Paulo, avista o mar lá de cima da estrada.

desafios.org.br

Agora a altura da pessoa pode ser desprezada e seus olhos estarão a h = 700 m do chão (nivel do mar). Logo:

Esta pessoa no topo da serra verá o horizonte bem mais longe, a aproximadamente 94,6 km. 

Exemplo 3: Um astronauta na ISS - Estação Espacial Internacional, a 400 km do nível do mar.

mek.kosmo.cz

Neste caso, h = 400 km = 400.000 m do nivel do mar. Teremos:

Para o astronauta o horizonte está muito mais distante ainda, a cerca de 2.300 km.

E aí? Respondido? Agora você sabe calcular "onde" está o seu horizonte?