::: EXCENTRICIDADE E VIDA :::

NASA

A Terra, nossa casa, nossa nave, fotografada pela missão Apollo 17

São muitos os fatores que propiciam a existência de vida aqui na Terra. Dentre eles está a excentricidade orbital do nosso planeta, o parâmetro e citado nos dois posts anteriores, bem como a distância média ou semi-eixo maior da órbita a.

É importante notar que, ainda que o semi-eixo maior a da órbita da Terra fosse o mesmo (algo em torno de 150 milhões de km), o que garantiria  a mesma distância média em relação ao Sol, se a excentricidade orbital e fosse maior do que é, poderíamos passar muito mais perto do Sol e, meio ano depois, muito mais longe. Esta maior variação na distância Terra-Sol poderia provocar variações extremas de temperatura. Perto do afélio, teríamos temperaturas muito baixas. E, na região em torno do periélio, temperaturas enormes. Entre um forno e um freezer, a vida na Terra seria inviável!


Confira na tabela abaixo os valores típicos da excentricidade e dos planetas do Sistema Solar:

 

Note que Mercúrio e Plutão têm as órbitas mais excêntricas, da ordem de dois décimos, e ainda assim não muito distantes de uma circunferência. Os demais planetas têm órbitas ainda menos excêntricas, "quase" circulares.


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prof. Dulcidio Braz Júnior (@Dulcidio)
às 23h20





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  ::: MAIS PERTO DO SOL II :::

Complementando o post anterior, a figura acima mostra um planeta qualquer (a Terra, por exemplo) em pontos extremos do eixo maior da órbita, em posições de máximo afastamento do Sol, no afélio (Dmáx) e de mínimo afastamento do Sol, no períélio (Dmin).

Observe que a distância  D do planeta ao Sol varia durante uma translação completa dentro do intervalo Dmin £ D £ Dmáx.

Não é tão difícil verificar pela figura acima que Dmin = c - a enquanto que Dmáx = c + a, certo?

Pela definição de excentricidade (e = c/a) podemos escrever c = e.a. E, com um pouco de álgebra, obteremos as expressões para Dmin e Dmáx. Confira:

Fazendo as contas para a Terra (a @ 150 milhões de km e e = 0,0167):

  • Dmin = a(1 - e) = 150(1 - 0,0167) = 150 x 0,9833 @ 147,5 milhões de km 
  • Dmáx = a(1 + e) = 150(1 + 0,0167) = 150 x 1,0167 @ 152,6 milhões de km

Portanto, hoje passamos a 147,5 milhões de km do Sol. E, lá pelo meio do ano, daqui a seis meses, estaremos a 152,6 milhões de km do Sol.

A distância média Dmédia de um planeta ao Sol será dada pela média aritmética simples entre Dmin e Dmáx. Assim teremos:

 

Concluímos que a distância média do planeta ao Sol corresponde ao seu próprio semi-eixo maior a. No caso da Terra, Dmédia = a @ 150 milhões de km(*)

E, aproveitando o embalo, já que estamos com a mão na massa, a cada ano percorremos de carona com a Terra uma distância d = 2pr = 2pa @ 2 x 3,14 x 150 @ 942 milhões de km, quase 1 bilhão de km!

Viu só que viagem? Aproveite-a!


(*) Esse valor é o que os astrônomos chamam de U.A. (unidade astronômica) e que aqui, para simplificar, está aproximado. O valor verdadeiro é 149,6 milhões de km.  

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Um forte abraço. E Física na Veia!
prof. Dulcidio Braz Júnior (@Dulcidio)
às 22h39





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  ::: MAIS PERTO DO SOL I :::

 
Tycho Brahe e Johannes Kepler

Hoje, quarta-feira, 4 de janeiro, por volta das 13 h (horário de Brasília), a Terra passou mais perto do Sol.

Se você sentiu que o dia estava quente, não se iluda: nada a ver uma coisa com a outra!

Aqui no Brasil, no hemisfério sul do planeta, estamos em pleno verão e as temperaturas médias estão bastante altas. No hemisfério norte, ao contrário, é inverno, com médias abaixo de 0oC em alguns pontos. Os dois hemisférios estão no mesmo planeta e, portanto, à mesma distância do Sol. O que diferencia as estações do ano é o fato de que a Terra tem um eixo de rotação inclinado em relação ao plano orbital, o que faz com que ao longo do ano, para diferentes pontos da órbita, o grau de exposição aos raios solares fique diferente nos dois hemisférios.

Johanes Kepler (1571-1630), astrônomo alemão, estudando dados observacionais obtidos de Tycho Brahe (1546-1601), astrônomo dinamarquês, descobriu que as órbitas dos planetas do Sistema Solar não são circunferências perfeitas e sim "ovais". Aliás, "ovais" bastante caprichosas que os matemáticos classificam como elipses. E o Sol ocupa uma posição excêntrica na elipse, ou seja, fica deslocado da posição central, num ponto chamado de foco da elipse.

Infelizmente, alguns livros didáticos trazem figuras que exageram na excentricidade das órbitas dos planetas do Sistema Solar. Algumas vezes a figura está em perspectiva o que piora ainda mais a idéia errada e dá a sensação exagerada de órbita bastante oval. Muita gente aprende (errrado!) que as órbitas são muito ovais e depois propagam esta bobagem adiante, ensinando errado para outros e mais outros... Já vi até colegas professores, especialmente os de geografia, que não tiveram aulas mais profundas de matemática e de mecânica celeste, ensinando errado, do modo como aprenderam!

Se é o seu caso, vamos consertar isso?

 

:: MATEMATIZANDO A ÓRBITA DE UM PLANETA

 

A figura acima mostra uma órbita elíptica já com os parâmetros geométricos importantes destacados. São eles:

  • a - semi-eixo maior da órbita
  • b - semi-eixo menor da órbita
  • P - qualquer planeta (a Terra por exemplo), que varre toda a elipse 
  • F e F' - focos (note que o Sol foi colocado arbitrariamente em F, um dos focos)

Como eu já disse, uma elipse não é uma oval qualquer. O que define matematicamente uma elipse é uma regra simples mas bem rigorosa: 

Um ponto P pertence à elipse se PF + PF' = 2.a

Em outras palavras, independente de onde estiver o ponto P (ou planeta), se somarmos as distâncias de P aos dois focos (PF + PF') sempre tem que dar o valor do eixo maior, ou seja, 2.a, o dobro do semi-eixo maior.

Uma maneira simples mas bem divertida de obter uma elipse é bater dois preguinhos numa tábua, ligar as duas pontas de um barbante fazendo um laço fechado e, usando um lápis, como na figura ao lado, traçar a elipse mantendo sempre o barbante bem esticado preso aos preguinhos. Isso garante uma elipse perfeita pois a ponta do lápis será o ponto P, os preguinhos os focos F e F' e o barbante garante que PF + PF' seja constante e sempre igual a 2.a!

O sol está "num dos preguinhos". Assim, enquanto o planeta (ponta do lápis) percorre a órbita, pode estar mais perto ou mais longe do Sol. Entendeu?

E, quanto mais alongada for a elipse, maior serão o afastamento e a aproximação em relação ao Sol.

Só que no Sistema Solar as elipses não são tão "alongadas". Se fosse possível ver as órbitas, à vista desarmada, sem medidas mais rigorosas, elas nos pareceriam circunferências. De fato, são quase circunferências com o Sol ligeiramente deslocado do centro para um dos focos.

O parâmetro matemático que mede o quanto uma elipse é ou não achatada é chamado de excentricidade (e). Por definição, a excentricidade e é definida como:

e = c/a

onde c, como pode ser visto na segunda figura logo acima, é a distância entre qualquer um dos focos (F ou F') e o centro da elipse enquanto que a é o valor do semi-eixo maior.

Note na figura que temos um triângulo retângulo de catetos c e b e hipotenusa a. Pelo Teorema de Pitágoras podemos escrever que:

Pela definição de excentricidade e mais o valor de c em função de a e b acima obtidos teremos:

Observe na expressão de e obtida que: 

  • Se a = b teremos uma circunferência de raio r = a = b. A razão b²/a² = 1 o que zera o valor da raiz quadrada e a excentricidade dá e = 0. Logo, toda circunferência tem excentricidade nula.
  • Quanto maior for o valor de a e menor for o valor de b, menor será a razão b²/a². Logo, dentro da raiz quadrada estaremos tirando de 1 um valor cada vez menor e a excentricidade tende para raiz quadrada de 1 que é 1. Quanto mais "alongada" for uma elipse, mais próximo de 1 será o valor da sua excentricidade.

Veja esta idéia representada na figura abaixo retirada de uma das provas da OBA - Olimpíada Brasileira de Astronomia:

 

Das elipses acima, qual é a mais próxima da órbita da Terra e dos outros planetas do Sistema Solar?  

Pense: ao longo de uma ano, o tamanho aparente do Sol muda visivelente ou não? É claro que você repondeu que não, não muda! Isso é uma prova experimental de que a distância Terra-Sol também não deve mudar muito, certo?

A resposta é: a segunda elipse é a mais "próxima". O valor real da excentricidade orbital da Terra é e = 0,0167, ou seja, a órbita é "quase" uma circunferência.

Hoje passamos de carona com a Terra pelo periélio, ponto da órbita mais perto do Sol. E, daqui a seis meses, em julho, passaremos pelo afélio, ponto mais afastado do Sol.


Post feito com base em aulas múltimidia do Curso de Astronomia e Astrofísica que, em parceria com o prof. Ronaldo "Joule" Marin, ofereço anualmente para nossos alunos. Aliás, o "Joule" foi quem sugeriu o tema deste post via e-mail. Gostei da idéia e está no ar!




Um forte abraço. E Física na Veia!
prof. Dulcidio Braz Júnior (@Dulcidio)
às 20h48





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Dulcidio Braz Jr
Físico/Professor, 49 anos

São João da Boa Vista
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