E = m.c² é o novo álbum da cantora e compositora americana Mariah Carey. O título é uma brincadeira com a conhecida equação de Einstein, provavelmente a equação mais famosa de toda a Física.

O álbum foi lançado há exatamente um mês e, segundo o site oficial da artista, E = m.c² quer dizer Emancipation = Mariah.Carey² e faz referência ao álbum Emancipation of Mimi de 2005.

Terminam aí as correlações entre Einstein e Mariah, pelo menos até onde eu sei. Mas, aproveitando a deixa, vamos ver uma interessante aplicação desta equação para a fusão nuclear que acontece no Sol.

:: Hidrogênio que se funde em Hélio

cse.ssl.berkeley.edu

A enorme energia E liberada pelo Sol pode ser explicada pela fusão do hidrogênio em hélio. Nesta reação nuclear, quatro átomos de hidrogênio (com 1 próton no núcleo de cada um) se juntam para fazer um de hélio (com 4 prótons no núcleo). E o interessante nessa reação é que, se pudéssemos "pesar" os quatro átomos de hidrogênio (antes da fusão) e o átomo de hélio (pós fusão) notaríamos que, após a fusão, há uma diferença (ou falta) de massa m.

Como explicar essa estranha diminuição de massa? Na verdade, a massa m que está faltando não desapareceu mas transformou-se em energia E como previsto pela equação E = m.c² de Einstein. Para calcular de quanto é essa quantidade E de energia, basta multiplicar a diferença de massa m pelo fator c² (o quadrado da velocidade da luz no vácuo). Como c = 3.10⁸ m/s já é um número grande, seu quadrado é maior ainda (c² = 3.10⁸ x 3.10⁸  = 9.10¹⁶). Assim, mesmo para uma pequena quantidade de massa m, teremos uma dose de energia E bem grande equivalente à massa m que fica faltando! Entendeu o "truque" físico genial?

Para que você tenha uma noção quantitativa do fenômeno, sabemos que no Sol, a cada segundo, cerca de 600 milhões de toneladas de hidrogênio são transformadas em hélio. Mas a diferença de massa é da ordem de apenas sete milésimos deste valor. Assim teremos:

Essa quantidade enorme de energia (E = 3,78.10²⁶ J) é liberada pelo Sol a cada segundo! Desta forma podemos definir a constante L (luminosidade) do Sol como sendo a energia por unidade de tempo, ou seja, L = E/Dt. Teremos, lembrando que J/s (joule por segundo) é W (watt):

É interessante notar ainda que essa energia é a que deixa o Sol. Ela se espalha em todas as direções ao redor da nossa estrela. Apenas uma pequena quantidade dela chega até nós aqui na Terra. Essa quantidade média de energia solar que chega na Terra por unidade de área e de tempo é conhecidade como constante solar C_S e pode ser calculada imaginando uma esfera centrada no Sol e cujo raio é o próprio raio médio da órbita da Terra ao redor da nossa estrela principal, como pode ser visto na figura a seguir (propositalmente fora de escala).

Toda a energia solar emanada em todas as direções é "diluída" na área superficial A desta esfera gigante fictícia de raio r = 150.000.000 km = 150.000.000.000 m = 1,5.10¹¹ m. A área superficial A desta esfera (em amarelo na figura acima) pode ser facilmente calculada por A = 4pr² = 4 . 3,14 . (1,5.10¹¹ m)² @ 2,83.10²³ m². Assim teremos:

Conclusão:  em média, em cada m² de área aqui na Terra, chegam cerca de 1300 W, ou seja, 1300 J de energia a cada s.

• [18/11/2005]  As Idéias de Einstein e o Vestibular I, II e III
• [16/11/2005]  Deu Einstein no Vestibular da UEL 2005
• [09/08/2005]  A Anti-Rosa
• [11/07/2005]  Eu Conheci Einstein Pessoalmente
• [26/04/2005]  Duas Equações Notáveis Para Energia
• [19/04/2005]  Um Absoluto Show de Relatividade
• [18/01/2005]  Deu Einstein No Vestibular 2005

Reta final: falta só uma semana para prova da XI OBA - Olimpíada Brasileira de Astronomia e Astronáutica que acontece no próximo dia 9 de maio.

Quase um milhão de estudantes do nível fundamental e médio já participaram deste fantástico evento em suas dez primeiras edições!

E na sua XI edição, em 2008, uma grande novidade: provas em braile para propiciar a participação de deficientes visuais. Se o evento já era muito bom, agora ganha nova dimensão! Parabéns aos organizadores do evento capitaneados pelo prof. Dr. João Batista Canalle da UFRJ! 

Esta tradicional olimpíada estudantil é promovida e organizada pela SAB - Sociedade Astronômica Brasileira em parceria com a AEB - Agência Espacial Brasileira sempre empenhadas em estimular o estudo da Astronomia, da Astrofísica e da Astronáutica que, com certeza, melhora o interesse dos jovens estudantes em todas as áreas afins e que, ao contrário do que muita gente pensa, extrapola os limites das ciências exatas. Através do estudo do céu podemos fazer correlações da Física e da Matemática com Química, Biologia, História, Geografia e Linguas, dentre outros.

Estou preparando meus alunos para mais esta prova. Dentre outros materiais, uso vários posts daqui do blog disponível para todos os visitantes, participantes ou não desta olimpíada. Se você vai participar da OBA, não pode deixar de consulta o índice de posts sobre Astronomia. Ele contém assuntos sempre "quentes" para a prova. E, como o espírito aqui do blog é compartilhar idéias, note que há banner permanente no menu direita que dá acesso ao índice periodicamente atualizado.

Acabo de receber confirmação do IFGW - Insituto de Física "Gleb Wataghin" da Unicamp - Universidade Estadual de Campinas que no próximo dia 17 de maio, sábado, acontece a XXI Oficina de Física "César Lattes" abordando as Energias Alternativas.

Confira abaixo a programação com as quatro palestras do evento: 

A inscrição de alunos de escolas e universidades públicas ou particulares custa apenas R$ 21,00. Professores de escolas públicas e particulares, funcionários públicos e bolsistas de pos-graduação pagam R$ 51,00. Para profissionais liberais, bolsistas de pós doutoramento e outros o investimento com o evento é de R$ 81,00.

Maiores informações e inscrições em www.ifi.unicamp.br/portal/extensao/oficinas-de-fisica. 

Já publicado aqui no Física na Veia!

• [05/05/2007]  Viagem ao Mundo da Nanotecnologia
• [19/04/2005]  Um Absoluto Show de Relatividade

futebolnaveia.com.br
 

Toda segunda-feira, depois de um grande clássico de futebol, não podem faltar as boas polêmicas que esquentam ainda mais esta indiscutível paixão nacional.

Com São Paulo 2 X 1 Palmeiras não poderia ser diferente! E não foi mesmo! No primeiro gol do tricolor paulista, foi bola na mão ou mão na bola? E aquela bola na trave depois da cabeçada do Alex Mineiro, quando o São Paulo ainda vencia por 1 X 0. Ah ... se tivesse entrado... Mas não entrou. Os palmeirenses estão até agora tentando entender porque a bola do Alex Mineiro bateu na trave e saiu para a esquerda, para fora. Se fosse pro outro lado, poderia ir direto para as redes de Rogério Ceni. E seria empate. E poderia mudar o destino da partida. Poderia! Mas não foi assim.

Cada vez que assisto a uma partida de futebol fico pensando na Teoria do Caos. Cada jogada é uma bifurcação que vai alterando o destino do jogo. No começo da partida existem muitas "soluções" possíveis para a construção do destino do jogo. A partida é como um caminho numa grande teia feita de ramos de bifurcação que os jogadores vão construindo coletivamente. Uma vez escolhido um lado da bifurcação, o outro fica para trás e jamais poderá acontecer. E o destino está feito, está tecido nesta teia de Caos!  

Não vou aprofundar esta questão do Caos e da bifurcação. Isso fica para outro post. Quero apenas aproveitar o clima quentíssimo de semi-final do Campeonato Paulista 2008 para discutir a Física por trás da colisão da bola com a trave. E a grande questão é: por que que algumas bolas na trave entram no gol e outras não?!

Para começar, quando uma bola bate num obstáculo (uma parede de tijolos, por exemplo) exerce sobre este uma força (Ação). Automaticamente, recebe do obstáculo outra força, de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto (Reação). Esta afirmação é feita com base na Lei da Ação/Reação de Isaac Newton (1643-1727) que todo aluno de início de Ensino Médio já conhece muito bem. E a força de reação do obstáculo sobre a bola, perpendicular (ou normal) à superfície de contato, embora seja muito rápida, tem intensidade e tempo suficiente para alterar a trajetória da bola, desviando-a.  

E aí vale o Princípio Fundamental da Dinâmica para valores médios que afirma:

 F.Dt = m.DV

onde F é a intensidade da força trocada entre a bola e o obstáculo, Dt é o curtíssimo intervalo de tempo que dura esta interação, m é a massa da bola e DV a variação da sua velocidade vetorial.

Não é difícil provar que, do ponto de vista meramente espacial, a trajetória da bola antes e depois da colisão com um obstáculo comporta-se mais ou menos como a trajetória de um raio de luz que atinge um espelho e sofre reflexão. Na reflexão, o ângulo de incidência i medido em relação à direção perpendicular (ou normal) N tem o mesmo valor do ângulo de reflexão r. A figura abaixo ilustra a idéia para uma bola colidindo contra uma parede plana.

Se a bola tiver trajetória coincidente com a direção normal, então teremos i = 0^o. Logo, r = i = 0^o, ou seja, a bola retorna pela mesma trajetória inicial, direto para o atacante que a chutou. 

Com a bola batendo na trave é a mesma coisa. Só que determinar a direção normal N na superfície curva da trave (que é cilíndrica) requer um pouco mais de cuidado geométrico. Mas é fácil A normal N pode ser definida como a direção da linha imaginária que une o ponto de contato da bola com a trave e o centro de curvatura C da circunferência da trave (vista em corte transversal na figura abaixo).

Dependendo da trajetória inicial da bola em relação à normal N, pouco antes de bater na trave, após a colisão a bola pode sair nesta ou naquela trajetória. Muitas vezes a bola sai numa trajetória que vai para dentro do gol. Noutras, volta para o pé do atacante que tem nova chance de tentar outro chute a gol. Há ainda casos em que a bola sai numa direção que não coloca em risco o time que sofre o ataque. A ilustração abaixo mostra cinco possíveis trajetórias (A, B, C, D e E) da bola chocando-se contra a trave.

O que acontece com a bola em cada uma das trajetórias de A a E? Para responder, basta analisar a trajetória inicial da bola em relação à normal N em cada ponto de contato. É o que será feito para cada caso logo a seguir, encontrando a normal N ligando o ponto de contato da bola com a trave ao seu centro C de curvatura. Acompanhe:

• Trajetória A
  
  Neste caso a bola sai numa direção à esquerda do atacante que a chutou!
• Trajetória B
  
  Aqui também a bola sai à esquerda do atacante, mas num ângulo menos aberto do que no acaso anterior.
• Trajetória C
  
  Aqui, como a trajetória inicial coincide com a direção normal (i = 0^o), a bola volta pela mesma trajetória (r = i = 0^o), direto para o pé do jogador que deu o chute.
• Trajetória D
  
  Nesta nova trajetória a bola sai à direita do atacante.
• Trajetória E
  
  Aqui, depois de colidir com a trave,  a bola também sai à direita do atacante, só que num ângulo um pouco mais aberto.

Se você reparar bem, em cada um dos cinco casos acima o ponto onde a bola bate na trave muda sutilmente. E isso faz com que a trajetória final da bola se altere. Mesmo numa pequena mudança do ponto de contato bola/trave da ordem de poucos centímetros, a trajetória e o destino final da bola podem mudar drasticamente. E isso pode ser a diferença entre a bola cruzar a linha de gol ou a linha de fundo!

É interessante notar que todos os infinitos pontos espalhados pela lateral externa da trave na parte voltada para o atacante vão produzir efeitos diferentes na trajetória final da bola. As possibilidade previstas pela Física são inúmeras, com resultados finais totalmente distintos. Não é por acaso que o futebol judia dos corações mais apaixonados pelo seu time!

Os leitores mais observadores ainda vão dizer que na minha análise estou apenas considerando trajetórias no mesmo plano horizontal de corte transversal da trave. É verdade! Na prática, supondo outros possíveis planos, saindo da horizontal, teremos ainda mais possíbilidade de bolas rebatidas em diferentes direções. Todas as possibilidades são devidamente regidas pelas leis da Física das colisões. Existe ainda a possibilidade de colisão da bola com o travessão, a trave que, diferentemente das duas verticais, é horizontal. Mas a idéia é a mesma. E os efeitos finais equivalentes, com a bola entrando ou não no gol dependendo do ângulo de incidência i em relação à direção normal N.

Entendeu agora porque a bola do Alex Mineiro bateu na trave direita do Rogério Ceni mas não entrou no gol? Coisa de centímetros, um ponto de contato bola/trave ligeiramente deslocado para o lado errado!

Domingo que vem tem mais. E que seja outro jogão de bola! E que vença quem jogar mais e melhor!

• Leia todos os posts sobre Física & Futebol publicados no Física na Veia!: clique aqui.

Já publicado aqui no Física na Veia!

• [03/12/2006]  Vôlei na Veia! 
• [15/09/2005]  O futebol e a Física das Colisões

ACP

Palma em ação, como Einstein

Neste sábado, 29 de março, às 21 horas, o ator Carlos Palma abre nova temporada do monólogo "Einstein" com a presença do autor, o canadense Gordon Wiseman.

Palma estreou "Einstein" em março de 1998 e a peça lançou a semente do fantástico núcleo Arte Ciência no Palco, grupo de teatro paulistano especializado em montar peças ancoradas na ciência.

A temporada de um mês, de sexta a domingo, será no auditório da PUC Consolação, na rua Marquês de Paranaguá 111,  entre Augusta e Consolação. Aos domingos, no mesmo local, às 16 h, será apresentado o infantil "Rebimboca & Parafuseta".

Vale lembrar que neste endereço funcionava há quase 40 anos o TESES - Teatro Sedes Sapientiae onde, segundo Oswaldo Mendes, do Arte Ciência no Palco, "muita gente boa começou a sua carreira como Alberto Guzik, Paulo Vilaça, Roberto Lage, entre tantos outros".

Para quem mora em Sampa, grande oportunidade de conhecer Albert Einstein  ao vivo e ouvir, dele mesmo, as suas grandes idéias! Eu já passei por esta experiência relativística de viajar no tempo e recomendo!

Para maiores informações, clique aqui.

• [25/02/2008]  Tudo É Relativo, Certo?
• [18/11/2005]  As Idéias de Einstein e o Vestibular I, II e III
• [11/07/2005]  Eu Conheci Einstein Pessoalmente
• [26/04/2005]  Duas Equações Notáveis Para Energia
• [19/04/2005]  IYPT Brasil 
• [19/04/2005]  Um Absoluto Show de Relatividade
• [17/03/2005]  É Hoje 
• [18/01/2005]  Deu Einstein No Vestibular 2005

Satélite geoestacionário e (em destaque) o seu idealizador

Em homenagem a Arthur C. Clarke (1917-2008), físico e escritor falecido nesta semana (veja post anterior), quero abordar alguns aspectos interessantes da órbita de um satélite geoestacionário também conhecida com órbita Clarke. Foi Clarke quem, nos anos quarenta do século passado, idealizou a possibilidade de conectar via-satélite várias partes do mundo usando satélites geoestacionários. 

:: O plano da órbita Clarke

Como o nome sugere, um satélite geoestacionário (geo = Terra, estacionário = parado) deve acompanhar a rotação do planeta de forma a ficar sempre parado em relação a um ponto fixo na Terra. 

Deve ficar bem claro que o satélite não vai ficar parado de forma absoluta uma vez que estará orbitando o planeta. O termo estacionário significa que o satélite estará parado em relação a um ponto fixo na superfície do planeta mas que também gira junto com a Terra na medida em que ela como um todo sofre rotação em torno do seu próprio eixo.

Para que isso seja possível, esta órbita (em verde e tracejada na figura a seguir) tem que ser equatorial, ou seja, deve estar no mesmo plano da linha do equador terrestre (em vermelho).

Assim, o planeta gira e o satélite acompanha a sua rotação permanecendo parado em relação a um ponto fixo na superfície terrestre.

:: O sentido do movimento na órbita Clarke

Sabemos que o planeta Terra gira de oeste para leste. Logo, para seguir um ponto P fixo na Terra o satélite S em sua órbita equatorial deve se mover no mesmo sentido do ponto P tal que permaneça estacionário num referencial fixo em P.

:: A velocidade do satélite na orbita Clarke

Para acompanhar a rotação da Terra, o satélite deve ter valores de velocidade V e altitude h que satisfaçam tanto a Lei da Gravitação Universal (figura abaixo) quanto as Leis do Movimento, leis estas propostas pelo físico inglês Isaac Newton (1642-1727).

Pela expressão acima concluímos que a Terra de massa M atrai o satélite de massa m com uma força gravitacional F que, além de depender do produto das massas M e m, depende ainda do inverso do quadrado da distância r entre o planeta e o satélite. G é uma constante universal que tem valor muito pequeno de 6,7.10^-11 N.m².kg².

F é a única força que atua sobre o satélite, forçando a sua órbita fechada ao redor do planeta. Aproximando esta órbita para uma circunferência, a força F passa a ter caráter exclusivo de resultante centrípeta R_C que pode ser expressa por:

Como F = R_C teremos:

Encontramos uma maneira de calcular a velocidade orbital V do satélite que não depende da massa m do próprio satélite mas somente da massa M do planeta. V depende ainda do raio orbital r que pode ser interpretado como r =  R + h onde R é o raio do planeta e h a altitude do satélite medida em relação à superfície planetária (confira esta idéia na figura abaixo).

:: O período da órbita Clarke

O período T da órbita de um satélite qualquer é o tempo que ele demora para completar uma volta ao redor do planeta. Para calcular T é fácil. A cada volta ao redor da Terra o satélite percorre um circunferência de comprimento DS =  2pr num intervalo de tempo Dt = T (o próprio período). Logo, pela expressão da velocidade escalar média (que pode ser aqui empregada pois estamos supondo órbita circular com velocidade constante), teremos:

Não perca de vista que o raio orbital r é a soma do raio R da Terra com a altitude h, ou seja, r = R + h.

Mas um satélite geoestacionário não é um satélite qualquer. Ele deve seguir a rotação da Terra e, portanto, deve ter período T = 24h, correspondente à duração de um dia, o mesmo tempo que a Terra gasta para completar uma volta ao redor de si mesma, certo? Na expressão de T logo acima r e V devem guardar relações bem precisas tal que seu período seja exatamente de 24h. É o que vamos discutir no tópico seguinte.

:: O raio r da órbita Clarke

A expressão do período T encontrada logo acima pode levar alguém distraído a acreditar que seja possível combinar diversos valores de r e V tal que a razão r/V multiplicada por 2p dê exatamente T = 24h. Mas não a coisa não é tão simples assim. Na expressão da velocidade orbital V obtida um pouco mais acima fica claro que a velocidade V também depende do raio orbital r! Logo, na razão r/V tem r "escondido" dentro do V. Desta forma, não tem como alterar V para uma órbita estável, dentro das leis da Mecânica, sem mexer em r e vice-versa. V e r estão irremediavelmente "amarrados" um ao outro! Para que a órbita Clarke funcione, ou seja, o satélite permaneça orbitando a Terra ao sabor da gravidade e acompanhando a rotação planetária, precisamos ajustar o raio orbital r (ou altitude h, como queira)!

Para tanto, basta substituir a expressão de V na expressão de T (ambas deduzidas logo acima) e teremos:

Precisamos dar uma "limpada" na expressão de T acima. A matemática fica mais bonita quando temos preocupações estéticas. Veja que podemos elevar ambos os membros da expressão ao quadrado e encontramos:

Continuando o processo de "faxina" matemática chegamos na seguinte expressão:

A expressão acima nada mais é do que a Terceira Lei de Kepler, originalmente sugerida por Johannes Kepler (1571-1630) para uma órbita elíptica, mas que aqui foi deduzida para uma órbita circular. Vale lembrar que uma órbita circular é um caso particular de uma órbita elíptica.

E com esta expressão na mão concluímos que, para a órbita Clarke funcionar, ou seja, ter um período T = 24h, é preciso ajustar o raio orbital r para um valor exato e compatível com T = 24h. Note, pelos cálculos acima, que não existem diversos valores de r que satisfazem à condição de órbita geoestacionária. Pelo contrário, só existe um único valor do raio orbital r para que o satélite acompanhe a rotação terrestre. E, ao definirmos um valor único de r, estabelecemos também um valor único para a velocidade orbital V pois, como vimos, ela também depende de r!

Agora está fácil encontrar o valor do raio r da órbita Clarke. É só isolar o r na expressão da Terceira Lei de Kepler para órbitas circulares que foi deduzida logo acima. Veja:

Para finalizar basta extrair a raiz cúbica em ambos os membros da expressão acima e encontraremos r:

Como o raio orbital r corresponde à soma do raio R da Terra com a altitude h (em relação ao solo) podemos encontrar também uma expressão para a altitude h do satélite:

É claro que, de uma forma muito mais simples, quando já tivermos calculado o valor de r, podemos encontrar h fazendo h = r - R.

:: Os valores reais de r e h na órbita Clarke

Com as expressões acima obtidas para r e para h, sabendo que a massa aproximada da Terra é M = 6.10²⁴ kg, o período T = 24h = 24 x 3600 s = 86.400s, o raio aproximado do planeta é R = 6.400 km = 6.400.000 m e usando p @ 3,14, podemos fazer as contas e chegar onde queremos. Confira:

• Cálculo de r:
   
  
• Cálculo de h:
  

Conclusão: 
1. O raio da órbita Clarke, medido em relação ao centro da Terra, é de cerca de 42.000 km.
2. A altitude do satélite, medida na vertical (direção radial) e contada em relação à superfície do planeta, é de cerca de 36.000 km.

:: O "campo de visão" do satélite na órbita Clarke

Um outro aspecto bem interessante a ser discutido é o "campo de visão" do satélite geoestacionário, ou seja, qual a região do planeta que ele é capaz de cobrir. Em outras palavras, qual a região da superfície da Terra que o satélite pode "enxergar". A figura abaixo ilustra a idéia.

O satélite pode enviar sinais eletromagnéticos para todos os lados. Mas o que delimita a região coberta pelos sinais é o fato do planeta ser esférico. Note, pela figura acima, que raios de onda emitidos pelo satélite, no limite, 'tocam" o planeta nos pontos de tangência T₁ e T₂. Desta forma os sinais recebidos ou transmitidos entre o satélite e a Terra ficam confinados num cone cuja base circular corresponde exatamente à área de cobertura. É nesta região que podemos colocar antenas capazes de trocar sinais eletromagnéticos com o satélite. 

Em vez da área circular mostrada na figura acima, vamos calcular o ângulo q definido pela figura abaixo. 

Note que q corresponde à latitude máxima que o sinal do satélite pode alcançar. O cálculo de q não é complicado como pode parecer à primeira vista. Veja que temos um triângulo DCT₁S onde C é o centro da Terra, T₁ o ponto de tangência do sinal e S o satélite. Neste triângulo retângulo, que facilita muito as coisas do ponto de vista geométrico, o cosseno de q equivale à razão R/r onde R = 6.400 km é o raio da Terra e r = 42.000 km (calculado logo acima) é o raio orbital do satélite geoestacionário S. Assim:

Com uma calculadora científica podemos facilmente obter o valor do ângulo q cujo cosseno vale 0,152381 fazendo a função inversa. Encontramos q @ 81,2^o. 

Conclusão: um satélite geoestacionário cobre uma região com antenas posicionadas entre as latitudes 81,2N até 81,2S. Esta região não chega nos pólos norte e sul da Terra. Mas chega quase lá. E isso não é nenhum problema porque ninguém vai querer transmitir sinais de TV ou internet para ursos polares ou pingüins, vai?!

Pensando um pouco mais profundamente também é possível calcular os valores de longitude para as antenas retransmissoras. É um cálculo um pouco mais complicado do que o da latitude. Mas possível. Assim podemos determinar o intervalo de latitudes/longitudes das antenas que podem trocar informações com o satélite e descobrir a sua real área de cobertura.

:: Para encerrar a conversa

Muita gente, quando vê um post repleto de contas como este, desanima logo nas primeiras linhas. Infelizmente, a maioria das pessoas não entende a linguagem matemática. É mais ou menos como deixar de contemplar a beleza de uma poesia escrita em russo só porque não sabemos ler em russo!

A linguagem matemática, por ser lógica, é a melhor possível para expressar a poesia do Universo. Aliás, deste ponto de vista, somos nós os físicos uma espécie de poetas do Universo, do micro ao macro, entendam as pessoas ou não o que queremos dizer com nossas encantadoras equações que nada mais são do que metáforas cósmicas! Física continua sendo pura poesia, não é mesmo Ronaldo? 

Sir Arthur Charles Clarke

Acabei de chegar das aulas da faculdade e recebi a notícia de que faleceu no final da tarde de hoje, aos 90 anos de idade, o físico e escritor inglês Arthur C. Clarke, autor do badaladíssimo "2001: Uma Odisséia no Espaço", que virou filme sob direção de Stanley Kubrick em 1968 e é considerado um marco na ficção científica mundial.

Apesar da correria, entre provas para corrigir e aulas por preparar, não posso deixar de registrar este fato. Também não posso deixar de comentar o que nem todo mundo sabe: é de Clarke a idéia de satélites geoestacionários. No artigo científico  "Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?", publicado na revista Wireless World em Outubro de 1945, Clarke introduziu a idéia de satélites geoestacionários, ou seja, com órbitas equatoriais e numa altitude^(*) tal que pudessem acompanham a rotação da Terra mantendo-se sempre fixos e na mira das antenas retransmissoras. Satélites geoestacionáios são uma grande sacada de mecânica a serviço das telecomunicações. E uma prova muito forte do lado visionário desde grande homem, apaixonado pela ciência e em especial pela Astronomia e que nos anos 40 do século passado já afirmava categoricamente que o homem chegaria à Lua.

Já publicado aqui no Física na Veia!

• [18/02/2008] Satélites: Perguntas e Respostas
• [10/04/2006] Órbita: Perfeita Combinação de Velocidade e Altitude
• [27/04/2005] Desafio: Satélites Geoestacionários

UOL Últimas Notícias

Papa Bento XVI em missa do Domingo de Ramos

Acabo de ler na home do UOL que o o papa Bento XVI celebrou hoje na praça São Pedro, no Vaticano, a tradicional Missa de Ramos. Todos os católicos (e até quem não é) sabem que, se hoje é Domingo de Ramos, no domingo que vem é Páscoa. Em 2007 domingo de Pascoa caiu em 8 abril. Em 2008 a Páscoa acontece mais cedo, assim como o Carnaval que também veio antes, logo no começo de fevereiro. 

Todo mundo que já se ligou no calendário 2008 sabe disso. Mas o que nem todo mundo se lembra é que estas datas cristãs estão interligadas e são calculadas com base numa regra lógica atrelada à Astronomia. Primeiro calculamos a data da Páscoa definida como "o primeiro domingo depois da primeira Lua Cheia⁽¹⁾ que ocorre após o dia 21 de março (equinócio⁽²⁾ de primavera no hemisfério norte ou outono no hemisfério sul)". Depois encontramos as outras datas seguindo o que se vê na tabela abaixo.

Comemorações religiosas com datas móveis
Nome	Data
Domingo de Carnaval	49 dias antes da Páscoa
Terça-feira de Carnaval	47 dias antes da Páscoa
Quarta-feira de Cinzas	46 dias antes da Páscoa
Domingo de Ramos	7 dias antes da Páscoa
Sexta-feira da Paixão	2 dias antes da Páscoa
Domingo do Espírito Santo	49 dias após da Páscoa
Santíssima Trindade	56 dias após da Páscoa
Corpus Christi	60 dias após da Páscoa

Para calcular a Páscoa existem algoritmos específicos (veja logo abaixo link para o post "Por que a data da Páscoa muda a cada ano?"). Para facilitar as coisas, disponibilizo aqui no blog uma Calculadora on line para encontrar automaticamente as datas da terça-feira de Carnaval, da Páscoa e de Corpus Christi. Basta fornecer o ano e o seu computador, rodando o script com um algoritmo chato de rodar na mão, faz o trabalho braçal por você.

Bom Domingo de Ramos! Espero blogar antes do próximo domingo. Mas, como ando "voando baixo" ultimamente, por garantia, desejo a você leitor do Física na Veia! desde já uma boa Páscoa no próximo final de semana prolongado!

• [29/02/2008]  Pague 365 e leve 1 de Graça
• [08/04/2007]  Por Que A Data Da Páscoa Muda A Cada Ano?

lnls.br

Vista panorâmica do LNLS

Numa semana de intensa correria, entre provas, aulas e reuniões, nem tive tempo de abrir minhas fontes de RSS. Mas nada como ter bons amigos. Ronaldo Marin me passou uma grande notícia: Cesar Lattes é o nome do recém inaugurado Centro de Nanociência e Nanotecnologia que fica nas dependêcias do LNLS - Laboratório Nacional de Luz Síncrotron, em Campinas (SP).

A cerimônia oficial de inauguração ocorreu nesta terça-feira, dia 4, e contou com a presença do presidente Luiz Inácio Lula da Silva e do ministro Sergio Rezende da Ciência e Tecnologia.

O LNLS é a única fonte de luz sincrotron⁽¹⁾ da América Latina. Aproveitando esta radiação, o novo centro vai desenvolver inúmeros projetos de pesquisa da matéria em nível atômico e molecular. Em sua existência de mais de duas décadas o LNLS já serviu de ferramenta para mais de 6 mil pesquisadores do Brasil e do exterior. Com o novo centro, as pesquisas científicas devem ser ainda ainda mais aquecidas.

Inicialmente o novo centro deve concentrar esforços nas linhas de pesquisa já existentes: 1) Nanossemicondutores, aglomerados pequenos de átomos de material semicondutor, e 2) Matéria mole, com aplicações que vão desde plásticos até cosméticos. O novo centro tem condições de estudar detalhes atômicos e moleculares da matéria para melhor entender o seu funcionamento.

Vale lembrar que a Nanotecnologia é uma ciência de ponta, com muitas realizações no presente e enormes promessas para o futuro. E o nosso país não pode ficar de fora desta importantíssima linha de pesquisa.

É muito bom ver o Brasil mostrando seu poder de fogo na pesquisa de alto nível. O LNLS, um projeto totalmente desenvolvido por brasileiros, é um dos orgulhos nacionais. E não poderiam ter escolhido nome melhor para o novo centro. Cesar Lattes é um dos grandes nomes da ciência no Brasil e também um orgulho nacional.

Eu, que tive a honra de conhecer o prof. Lattes e ter aulas de Relatividade com ele, fiquei duplamente contente! Ronaldo Marin, que conviveu com o prof. Lattes em seus últimos momentos de vida colhendo dados para uma peça de teatro, também vibrou com a merecida homenagem ao nobre⁽²⁾ mestre.

Estou publicando este post no primeiro minuto de 29 de fevereiro de 2008, um dia que veio de brinde neste ano bissexto que, em vez de 365 dias, terá 366.

E a pergunta inevitável que muita gente vai fazer hoje é: por que temos um dia a mais nos anos bissextos?

A resposta está ligada a um fato astronômico notável: a Terra não dá uma volta ao redor do Sol em exatos 365 dias. Ela gasta 365 dias mais um pouquinho.

Na prática isso significa que, depois de alguns anos, como efeito cumulativo desta “sobra” temporal, as estações do ano vão ficando defasadas e o calendário bagunçado, a não ser que correções sejam feitas. Os anos bissextos são, portanto, correções no calendário. 

:: A Primeira correção deste erro

O Calendário Juliano, implantado em 45a.C. pelo imperador romano Julio César, sugeria que a duração verdadeira do período de translação da Terra ao redor do Sol⁽¹⁾ seria de 365,25 dias, ou seja, 365 dias mais uma “sobra” de 0,25 dia correspondente a 1/4 de dia ou 6h.

Assim, a cada quatro anos teríamos acumulados 4 x 6 = 24h, equivalente a 1 dia para ser acrescentado ao calendário para não bagunçar o início das estações tão importantes para a agricultura naquela época. E assim foi feito. E o mês de fevereiro, a cada quatro anos, passou a contar com 29 e não apenas 28 dias.

Não fosse tal correção, teríamos a cada 360 anos uma defasagem de 90 dias (360 x 0,25 dia = 90 dias). Seriam 3 meses de erro, ou seja, todas as estações do ano estariam atrasadas em 3 meses. Imagine, como efeito colateral deste erro, o inverno começando no outono! Que bagunça! E em 720 anos teríamos o dobro do erro, ou seja, 180 dias, 6 meses de defasagem, com o inverno começando no verão! Somente em 1.440 anos, com uma defasagem total de 12 meses, ou seja, um ano, o calendário voltaria a ficar correto. Mas não dá para esperar quase um milênio e meio para que as datas de início das estações se acertem sozinhas, dá?

:: A segunda correção

Mesmo sem o auxílio de telescópios, que surgiram das mãos de Galileu Galilei (1564-1642) em 1609⁽²⁾, observações astronômicas muito mais precisas do que as da época de Julio César deram conta de que o ano é um pouco mais curto do que 365,2425 dias e dura 365,242199 dias (exatamente 365 dias + 5 h + 48 min + 47 s).

Logo, o Calendário Juliano também acabava cometendo um erro cumulativo, bem menor mas que, a longo prazo, também acabaria bagunçando o calendário.

É fácil calcular este novo erro no Calendário Juliano. Veja: 365,242199 – 365,25 = 0,00781 dia. Note que 1 / 0,00781 = 128. Em outras palavras, em 128 anos haveria um erro de 1 dia no Calendário Juliano!

Em 1582 o Papa Gregório XIII sugeriu um novo calendário, ainda aproximado, mas com erro bem menor. Este novo calendário ficou conhecido, em sua homenagem, como Calendário Gregoriano.

O Calendário Gregoriano estava de acordo com o Primeiro Concílio de Nicéia que ocorreu durante o reinado do imperador romano Constantino I, o primeiro a aderir ao cristianismo em 325 d.C. O Primeiro Concílio de Nicéia, dentre outras coisas, homologou uma forma de calcular a data da Páscoa cristã para que caísse em data diferente da Páscoa judaica. Mero interesse da Igreja.

Do ano 325 até o ano 1582 passaram-se 1.582 – 325 = 1.257 anos. Com um erro de 0,00781 dia por ano no Calendário Juliano, estimou-se uma defasagem de 1257 x 0,00781 = 9,8 dias que foi aproximada para 10 dias. No novo Calendário Gregoriano, 10 dias foram cortados do mês de outubro de 1582 para corrigir o erro acumulado do Calendário Juliano.

Corrigida esta defasagem acumulada em 1.257 anos, passou-se a adotar o valor de 365,2425 dias como o valor do ano. Mas a duração verdadeira do ano é de 365,242199 dias. Fazendo 365,242199 – 365,2425 = 0,000301 dia vemos que o erro ainda existe neste novo calendário. Mas agora é muito menor. Observe que 1/0,000301 = 3322, ou seja, uma defasagem de apenas 1 dia a cada 3.322 anos. Na prática o Calendário Gregoriano corrigiu um erro acumulado ao longo de 1.257 anos e “empurrou com a barriga” um novo erro para ser corrigido lá na frente, 3.322 anos depois!

:: Como encontrar um ano bissexto

Pelo Calendário Juliano deveríamos ter um ano bissexto a cada 4 anos. Mas, como vimos, isso ainda acarretaria um erro razoavelmente grande.

O Calendário Gregoriano estabeleceu que um ano duraria 365,2425 dias, o que corresponde a 365 + 0,25 -0,01 + 0,0025 = 365 + 1/4 -1/100 + 1/400.

Com base nestas frações foram criadas três regras práticas para se validar um ano como bissexto ou não. Veja:

1. Com base em +1/4: todo ano múltiplo de 4 é ano bissexto;
2. Com base em -1/100: todo ano múltiplo de 100 não é bissexto, mesmo sendo múltiplo de 4 (critério I);
3. Com base em +1/400: todo ano múltiplo de 400 é bissexto, mesmo sendo múltiplo de 100 (critério II).

Exemplos:

• 2008 é bissexto porque é múltiplo de 4 mas não é de 100. 
• 2000 foi bissexto porque é múltiplo de 4 e, mesmo sendo múltiplo de 100, também o é de 400. 
• 1900 não foi bissexto porque, mesmo sendo múltiplo de 4, também é múltiplo de 100 e não é de 400.
• 2100 também não será bissexto porque, mesmo sendo múltiplo de 4, é múltiplo de 100 mas não é de 400.

Resumindo: para ser bissexto, um ano deve ser necessariamente múltiplo de 4. Mas se também for múltiplo de 100, não será bissexto, a menos que seja também múltiplo de 400.

O Calendário Gregoriano é usado até hoje e deve perdurar pelo menos até 4904 (1582 + 3322), ano em que teremos um erro acumulado de aproximadamente 1 dia (24h)! Até lá podemos ficar tranqüilos porque alguém vai propor uma correção e, quem sabe, até mesmo um novo calendário...

• Orkut: comunidade de nascidos em anos bissexto e, portanto, aniversariantes de hoje, 29 de fevereiro.

• [08/04/2007]  Por que a Data da Páscoa Muda a Cada Ano?
• [26/12/2007]  The International Year Of Astronomy 2009

Capa da edição especial Relatividade

Ainda hoje tem gente dizendo que "tudo é relativo". Para piorar a bobagem, atribui a frase a Albert Einstein (1879-1955) que criou a Teoria da Relatividade! Einstein nunca diria tamanha asneira até porque a base da Teoria da Relatividade Restrita é o fato de que a velocidade da luz é absoluta e não relativa!

Em 1905, Einstein, com apenas 26 anos de idade e dando os seus primeiros passos na carreira científica, plantava uma semente que tinha tudo para virar uma gigantesca árvore. E virou. A Teoria da Relatividade já completou um século de existência e sucesso. Conhecê-la é um privilégio. Mas muita gente imagina que seja privilégio de poucos por tratar-se de algo complicado, inacessível, e só para "eleitos". Outra bobagem! É absolutamente possível entender as bases da teoria, e sem lançar mão de grandes calculeiras.

Esta é exatamente a proposta do meu projeto de ensino de Física Moderna que, em 2002, materializei na forma de um livro publicado pela editora Companhia da Escola. Tópicos de Física Moderna traz, ao lado da Física Quântica e da Cosmologia, a Teoria da Relatividade de Einstein numa formatação light, sem grandes exageros matemáticos.

E quem diria que esta teoria um dia poderia ser encontrada até mesmo nas bancas de jornal! Refiro-me à Edição Especial "Relatividade" da revista Scientific American Brasil. Por apenas R$ 12,90 você pode ter em mãos artigos de altíssima qualidade abordando este tema tão instigante.

A deliciosa revista, rica em belíssimas ilustrações, está assim formatada:

MUNDO RELATIVÍSTICO EM IMAGENS Visualização como base da compreensão Viagem (quase) à velocidade da luz Buracos negros e estrelas de nêutrons Espaço tempo encurvado Buracos de minhoca e dobras espaciais Visões em 3-D de efeitos relativísticos Ponto de Vista 3 · Glossário 80 DESLOCAMENTOS VISUAIS Efeitos Estranhos Obtidos com Computadores Imagens fotorrealistas podem elucidar com eficácia a teoria da relatividade – dificilmente entendidas por ser muito abstratas – e ao mesmo tempo refazer interpretações errôneas VIAJANDO (QUASE) À VELOCIDADE DA LUZ O Mundo em Alta Velocidade Quem faz uma viagem sempre tem algo para contar. Ainda mais quando se desloca a velocidades próximas à da luz TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL A Relatividade do Tempo O que é o tempo? A questão que intriga os filósofos há milênios tem desdobramentos totalmente novos na teoria de Einstein BURACOS NEGROS E ESTRELAS DE NÊUTRONS Como as Massas Distorcem o Espaço-Tempo Devido à poderosa gravidade, os corpos celestes massivos atuam como lentes gravitacionais. A forte difração dos feixes de luz leva a efeitos ópticos curiosos A ESSÊNCIA DA RELATIVIDADE Descrição Geométrica da Gravitação A teoria geral da relatividade de Einstein é, fundamentalmente, uma teoria da gravitação. Seus traços básicos podem ser compreendidos também sem fórmulas – desde que se consiga imaginar um espaço-tempo curvado BURACOS DE MINHOCA E PROPULSÃO WARP Viagens Fantásticas Viajando à velocidade da luz pelo Universo? De um buraco de minhoca a Marte? Sem problema – desde que a questão da energia esteja solucionada Relatividade na astronomia Efeitos do light-crossing time e das lentes gravitacionais podem ser observados diretamente no céu. Simulações por computador comprovam a compreensão teórica VISÕES ASTRONÔMICAS Einstein no Espaço As dimensões do Cosmos são tão gigantescas que mesmo a luz parece estar se expandindo aos poucos. Em seu caminho é defletida por concentrações de massa. Onde mais, então, se poderiam observar melhor in natura os efeitos da teoria da relatividade que no espaço sideral? IMAGENS EM 3-D Teoria da Relatividade em Estéreo Visualizações bem impressionantes de efeitos relativísticos são obtidas com imagens 3-D APÊNDICE I Conseqüências Curiosas da Finitude da Velocidade da Luz Por Ute Kraus O comprimento também é uma grandeza relativa – depende da velocidade e do ângulo de visão 72 APÊNDICE II Ray-tracing em Torno do Buraco Negro Por Daniel Weiskopf As imagens calculadas pelo computador lembram as de uma câmara normal – apenas com a direção dos raios inversa

Eu já comprei o meu exemplar direto na banca. Mas também é possível adquirir a revista pela loja virtual da Duetto. Recomendo!

• [14/12/2006]  Quânticos
• [18/11/2005]  As Idéias de Einstein e o Vestibular I, II e III
• [11/07/2005]  Eu Conheci Einstein Pessoalmente
• [26/04/2005]  Duas Equações Notáveis Para Energia
• [19/04/2005]  IYPT Brasil 
• [19/04/2005]  Um Absoluto Show de Relatividade
• [17/03/2005]  É Hoje 
• [18/01/2005]  Deu Einstein No Vestibular 2005

Confirmado: o satélite espião americano que estava fora de controle e iria cair na Terra foi destruído há poucas horas por um míssil lançado de um navio militar americano, provavelmente o USS Lake Erie, em águas do Pacífico.

A justificativa para derrubar o satélite foi o tanque de combustível com cerca de 500 kg de Hidrazina, substância tóxica e que poderia colocar em risco habitantes do planeta ou até mesmo o meio ambiente. Mas há quem diga que os EUA queriam mesmo era demonstrar tecnologia e poderio militar fazendo o que a China já havia feito em janeiro de 2007 quando também derrubou um satélite meteorológico com um míssil.

Acabou a novela! E você dá a ela o final que quiser! 

• [18/02/2008]  Satélites: Perguntas e Respostas